Der Feuerbach – Kreis

Karl Wilhelm Feuerbach (1800 - 1834)

Karl Wilhelm Feuerbach (1800 – 1834)
Gegeben sei das Dreieck $ABC$.
Das Seitenmittendreick von $ABC$ sei $A’B’C’$.
Dreieck $A“B“C“$ wiederum habe $ABC$ als Seitenmittendreick. Man erhält $A“B“C“$ aus $ABC$ allein durch zeichnen von Parallelen.

Es sei $\sigma$ die zentrische Streckung mit dem Streckfaktor $-2$ , deren Zentrum der Schwerpunkt $S$ des Dreiecks $ABC$ ist.
Es ist bekannt, dass gilt:
$$\sigma(A‘)=A,\sigma(B‘)=B,\sigma(C‘)=C$$
Die Höhengeraden von $ABC$ sind identisch mit den Mittelsenkrechten von $A“B“C“$

Das Bild der Geraden $AB$ enthält das Bild $C$ von $C’$ und ist also $B“A“$
Entsprechend ist das Bild $AC$ die Gerade $A“C“$ und es folgt $\sigma(A)=A“$. Analoge Übererlegungen ergeben insgesamt:
$$\sigma(A)=A“,\sigma(B)=B“,\sigma(C)=C“$$
Damit bildet $\sigma$ den Umkreissmittelpunkt$M$ von $ABC$ auf den Umkreismittelpunkt $H$ von $A“B“C“$ ab: $$\sigma(M)=H$$. $H$ ist aber auch der Höhenhenschnittpunkt von $ABC$.
Insbesondere liegen $S,M,H$ auf einer bestimmten Geraden, falls $M\neq H$. Diese Gerade nennt man „Euler’sche Gerade“.

Im folgende werden die zwei einfache Tatsachen mehrfach

  • Sind $A,B,C$ drei Punkte und ist $P$ die Mitte von $[AC]$ sowie $Q$ die Mitte von $[BC]$ dann gilt
    $$2\cdot \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AB}$$
  • Es seien $A,B,C$ drei Punkte und ist $M$ die Mitte von $[AB]$, dann liegen $A,C$ einerseits sowie $B,C$ andererseits ,genau dann auf orthogonalen Geraden, wenn $$\left|\overrightarrow{AM}\right|=\left|\overrightarrow{CM}\right|=\left|\overrightarrow{BM}\right|$$

Die Formulierungen wurden hierbei so gewählt, dass die Punkte durchaus identisch sein können, oder auf einer Geraden liegen.
Beweis der Existenz des Feurbach’schen Kreises.
Das Seitenmittendreick von $ABC$ ist $A’B’C’$.

Die Punkte $A^*,B^*,C^*$ wiederum seien die Mitten jeweiligen eines Eckpunktes $A,B,C$ und $H$

Es gilt $$2\cdot\overrightarrow{A^*B‘}=\overrightarrow{HC}$$
und auch
$$2\cdot\overrightarrow{B^*A‘}=\overrightarrow{HC}$$
also
$$\overrightarrow{B^*A‘}=\overrightarrow{A^*B‘}$$

$2\cdot \overrightarrow{B’A^*}=\overrightarrow{CH}=2\cdot \overrightarrow{A’B^*}$
Diese Vektoren sind orthogonal zum Vektor $\overrightarrow{A’B‘}$

Bezeichnet man also mit $F$ den gemeinsamen Mittelpunkt von $[A’A^*]$ und $[B’B^*]$, so sind die Punkte
$A‘,A^*,B‘, B^*$ alle gleich weit von $F$ entfernt.

Da $B‘,H_B$ und $B^*,H_B$ auf orthogonalen Geraden liegen, hat $H_B$ ebenfalls diese Entfernung zu $F$.
Ersetzt man in dieser Überlegung noch $A‘,A^*$ durch $C‘,C^*$ bzw. $B‘,B^*$ durch $C‘,C^*$ bzw. $B‘,B^*$ so erhält man:

$2\cdot \overrightarrow{A’C^*}=\overrightarrow{BH}=2\cdot \overrightarrow{C’A^*}$

$2\cdot \overrightarrow{C’B^*}=\overrightarrow{AH}=2\cdot \overrightarrow{B’C^*}$
Alle neun Punkt $A‘,A^*,H_A,B‘,B^*,H_B,C‘,C^*,H_C$ haben den gleichen Abstand zu $F$. Sie liegen also alle auf einem Kreis (Feuerbach – Kreis) um $F$.

Pythagoreisches Tripel nach Sierpinski

SierpinskiIn  einem kleinen Büchlein beschäftigt sich
Wacław Sierpiński mit pythagoreischen Tripel
Dabei behandelt er verschiedene Fragen zu den Basiseigenschaften dieser Tripel bis zu ungewöhnlichen Themen.Definitionen Ein Tripel $(a,b,c)$ natürlicher Zahlen nennt man ein pythagoreisches Tripel, falls gilt
$$c^2=a^2+b^2$$
Haben hier $a,b$ den gemeinsamen Teiler $d$, so gilt $a=d\cdot a‘,b=d\cdot b’$ und damit
$$c^2=a^2 +b^2=\left(d\cdot a’\right)^2+\left(d\cdot b’\right)^2=d^2 \cdot a’^2+d^2\cdot b’^2=d^2\left(a’^2+b’^2\right)$$Also ist $d^2$ ein Teiler von $c^2$ und somit $d$ ein Teiler  von $c$.
Dass d ein Teiler von c ist, falls $d^2$  $c^2$ teilt, erkennt man am einfachsten, wenn man die Primzerlegungen von c und d betrachtet.
Die Überlegung zeigt auch folgendes: Bezeichnet man für $n\in \mathbb{N}$ mit $T_n$ die Menge aller nicht negativen Teiler von $n$, so gilt $T_a\cap T_b=T_a\cap T_b\cap T_c$.  Insbesondere ist der größte gemeinsame Teiler von $a,b$ identisch mit dem größten gemeinsamen Teiler von $a,b,c$. Wegen $a^2=c^2-b^c$ gilt für
für ein pythagoreisches Tripel: der größte gemeinsame Teiler von zwei der drei beteiligten Zahlen ist identisch mit dem größten Teiler aller drei Zahlen des Tripels.
Ist $d$ der größte gemeinsame Teiler von $a,b,c$, so besteht das pythagoreische Tripel $\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d},\frac{c}{d}\right)$ aus drei teilerfremden natürlichen  Zahlen. Ein pythagoreisches Tripel, das aus drei teilerfremden Zahlen besteht, nennt man ein pythagoreisches Grundtripel oder primitives pythagoreisches Tripel.
Im folgenden sollen alle pythagoreischen bestimmt werden.
Irgendein pythagoreisches hat die Form $(x\cdot d,y\cdot d,y\cdot d)$ mit einer beliebigen natürlichen Zahl $d$ und einem  ein pythagoreisches Grundtripel $(x,y,z)$.
Es genügt also alle pythagoreisches Grundtripel zu bestimmen.

  1. Das Quadrat einen geraden natürlichen Zahl ist offenbar ein Vielfaches von $4$.
    Ist $n=2\cdot k+1,k\in \mathbb{N},$ eine ungerade natürliche Zahl, so folgt
    $$n^2=\left(2\cdot k+1\right)^2=4\cdot k\left(k+1\right)+1$$
    Da eine der Zahlen $k,k+1$, gerade ist, besitzt also das Quadrat einer ungeraden Zahl bei Division mit 8 den Rest 1.
  2. Ist $(x,y,z)$ ein pythagoreisches Grundtripel, so können nicht $x$, und $y$ beide gerade natürliche Zahlen sein. Es ist aber eben sowenig möglich, dass  beide Zahlen $x,y$ ungerade sind. Denn $x^2+y^2=8\cdot u+2,u\in \mathbb{N},$.  Diese Zahl ist aber weder das Quadrat einer geraden noch das Quadrat  einer ungeraden Zahl.
    Bei einem pythagoreisches Grundtripel muss also eine der Zahlen $x,y$ gerade und die andere ungerade sein.
  3.  Es seien $m$ und $n$ natürliche Zahlen mit folgenden Eigenschaften
    (1) $m,n$ sind teilerfremd
    (2) $m \ge 0$
    (3) $m – n$ ist ungerade, d.h. $m,n$  sind nicht beide ungerade oder beide gerade.
    Dann wird durch $$x=m^2-n^2,y=2mn,z=m^2+n^2$$
    ein pythagoreisches Grundtripel $(x,y,z)$ definiert.
    Es ist nur zu erläutern, weshalb $x,y$  teilerfremd sind. $2$ ist zunächst kein Teiler von $x$ (wegen 3) . Ist aber $p\neq 2$ ein Primteiler von $x$ und $y$, so ist p zunächst ein Teiler von $m$ oder $n$. Wegen $x=(m-n)(m+n)$ ist aber auch ein Teiler von $m-n$ oder $m +n$. Damit erhält man aber den Widerspruch zu (1), dass $p$ ein Teiler von $m$ und $n$ ist.
  4. Ist ein ein pythagoreisches Grundtripel mit geradem $y$  gegeben, so sind  $m$ und $n$ wie in 4. beschrieben eindeutig bestimmt. Denn
    $$2m^2=z+x, 2n^2=z-x$$
  5.  Es sei jetzt $(x,y,z)$ ein pythagoreisches Grundtripel mit geradem $y$ und also ungeradem $x$ und $z$. Dann gilt
    $$y^2=z^2-x^2=\left(z+x\right)\left(z-x\right)$$
    Da $z+x$ und $z-y$ beide gerade sind kann man setzen
    $$2u=z+x, 2v=z-x, (u,v \in \mathbb{N})$$
    $u$ und $v$ sind teilerfremd und $u+v=z$ sowie $u-v=x$
    Es folgt dann $y^2=4uv$. Setzt man noch $y=2w$ mit $w \in \mathbb{N})$, so gilt
    $$w ^2=uv$$
    Daraus folgt aber , dass $u,v$ ebenfalls Quadrate sein müssen (Man stelle sich die Primzerlegung von $w$ und erhält daraus die Primzerlegung $w^2$, die nur quadratische Primfaktoren enthält.  Also
    $$u=m^2, v=n^2 (m,n \in \mathbb{N})$$
    Es ist dann
    $$x=m^2-n^2,y=2mn,z=m^2+n^2$$
    und die Bedingungen (1) – (3) sind offenbar erfüllt.
  6. Zusmamenfassung (nach Sierpinski) Alle primtiven pythagoreischen Grundtripel $(x,y,z)$, wobei $y$ gerade ist, erhält man durch
    $$x=m^2-n^2,y=2mn,z=m^2+n^2$$
    wobei $m>n$ teilerfremde natürliche Zahlen sind von denen eine gerade und die andere ungerade ist. Jedes derartige Tripel erhält man so nur auf eine Art.

Die Euler’sche Gerade

Euler
Gegeben sei das Dreieck $ABC$.
Das Seitenmittendreick von $ABC$ sei $A’B’C’$.
Dreieck $A“B“C“$ wiederum habe $ABC$ als Seitenmittendreick. Man erhält $A“B“C“$ aus $ABC$ allein durch zeichnen von Parallelen.

Es sei $\sigma$ die zentrische Streckung mit dem Streckfaktor $-2$ , deren Zentrum der Schwerpunkt des Dreiecks $ABC$ ist.
Es ist bekannt, dass gilt:
$$\sigma(A‘)=A,\sigma(B‘)=B,\sigma(C‘)=C$$
Die Höhengeraden von $ABC$ sind identisch mit den Mittelsenkrechten von $A“B“C“$

Das Bild der Geraden $AB$ enthält das Bild $C$ von $C’$ und ist also $B“A“$
Entsprechend ist das Bild $AC$ die Gerade $A“C“$ und es folgt $\sigma(A)=A“$. Analoge Überlegungen ergeben insgesamt:
$$\sigma(A)=A“,\sigma(B)=B“,\sigma(C)=C“$$
Damit bildet $\sigma$ den Umkreissmittelpunkt von $ABC$ auf den Umkreismittelpunkt $H$ von $A“B“C“$ ab: $$\sigma(M)=H$$. $H$ ist aber auch der Höhenschnittpunkt von $ABC$.
Insbesondere liegen $S,M,H$ auf einer bestimmten Geraden, falls $M\neq H$. Diese Gerade nennt man „Euler’sche Gerade.

Eisenstein’s Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes

Vorbereitungen

 

  • Es sei $p$ eine ungerade Primazhl. Der Körper $\mathbf{F_p}$  besteht aus allen Restklassen $mod \: p$ . Dabei können die Zahlen $0,1,\cdots p- 1$ als ein Vertretersystem der Restklassen gewählt werden.
    Ein anderes Vertretersystem erhält man wie folgt: Die Zahlen aus $ \mathbf{S_p}=\left\{0,1,2\cdots \frac{p-1}{2}\right\}$ bleiben nach wie vor Vertreter. Sie werden ergänzt durch die negativen  Zahlen aus $ -\mathbf{S_p}=\left\{ -\frac{p-1}{2}\cdots-2,-1\right\}$.  Die Vertreter $z>\frac{p-1}{2}$ des  ursprünglichen Systems werden also durch $z-p$ ersetzt und das zeigt, das tatsächlich wieder ein Vertretersystem entsteht.
    Ist eine ganze Zahl $mod \: p$ zu einem Element aus $ -\mathbf{S_p}$  kongruent, so sagt man auch, dass sie negativen Rest besitzt, wohingegen die ganzen Zahlen , die  kongruent zu einem  Vertreter aus $\mathbf{S_p}$ sind, mit postivem Rest $mod \: p$ genannt werden.
  • Ein von 0 verschiedenes  $a \in\mathbf{F_p}$ heißt quadratischer Rest, wenn die Gleichung $x^2=a$ eine Lösung in $\mathbf{F_p}$ besitzt. Das Legrende Symbol $\left(\dfrac{a}{p}\right)$ ist für eine Primzahl $p$ und jede ganze Zahl $a$ definiert durch
    $$\left(\dfrac{a}{p}\right)=\begin{cases}
    1  & \text{wenn }a\text{ quadratischer Rest mod }p\\
    -1& \text{wenn }a\text{ nicht quadratischer Rest mod }  p\\
    0& \text{wenn }a\text{ Vielfaches von } p
    \end{cases}
    $$Das sogennate „Lemma von Gauss“ besagt  nun folgendes: Ist  $ a \in \mathbb{Z}$ gegeben und multilpliziert man $\bar{a}$  mit allen $\bar{x}$, wobei $x\in \mathbf{S_p}$ , und erhält man dabei  $r$ „negative Ergebisse“, so gilt:
    $$\left(\dfrac{a}{p}\right)={\left(-1\right)}^r$$.
    Dabei ist ein negatives Ergebnis $\bar{a}\centerdot\bar{x}=\bar{y}$ negaitiv, falls $y\in -\mathbf{S_p}$
  • Für jedes positive $n \in \mathbb{N}$ sei die auf $\mathbb{R}$  definierte Funktion $f_n$ gegeben durch
    $$f_n(x)=\sin \left( \frac{2\pi }{n}\centerdot x \right)$$
    Sie hat die Periode $n$ und alle ganzzahligen Vielfachen von $\dfrac{n}{2}$  sind ihre Nullstellen.
    $f_n$ bestitzt postive Werte auf allen Intervallen $\left]k\centerdot n,k\centerdot n+\dfrac{n}{2}\right[$ und negative Werte auf allen Intervallen $\left]k\centerdot n+\dfrac{n}{2},(k+1)\centerdot n\right]$.
    Für eine Primzahl $p$ und jede ganze Zahl $a$ gilt damit:
    $$\left(\dfrac{a}{p}\right)=sig\left(\prod_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}{f_p(ak)}\right)$$
  • Es gibt für jedes positive $n \in \mathbb{N}$  ein relles Polynom $P_n\left(X\right)$ vom Grad $n$ mit
    $$\cos\left(nx\right)=P_n\left(\cos x\right)$$
    Es ist offenbar $P_1\left(X\right)=X$ und $P_2\left(X\right)=2X^2-1$.
    Die allegmeine Tatsache ergibt sich aus der Gleichung (Additionstheorem für die cos – Funktion!)
    $$\cos\left((n+1)x\right)+\cos\left((n-1)x\right) =2\cos x \cos\left(nx\right) $$
    Es ist dann also
    $$ P_{n+1}\left( X\right)=2XP_n\left(X\right)-P_{n-1}\left(X\right)$$ die reforderliche Rekursionsbeziehung zwischen den Polynomen. Daraus ergibt sich auch, dass $2^{n-1}$ der Führungskoeffizient von $P_n$ ist. Weiter ist
    $$P_n\left(\sin x\right)=P_n\left(\cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)\right)= \sin\left (nx\right)\sin\left(n\centerdot\frac{\pi}{2}\right)$$
    Der Term $\sin\left(n\centerdot\dfrac{\pi}{2}\right)$ hat für gerades $n$ den Wert 0 und für ungerades $n$ abwechselnd die Wertre $-1,-1$. Es ist damit
    $$P_n\left(\sin x\right)={\left(-1\right)}^{\frac{n-1}{2}}\sin\left(nx\right)$$
    für ungerades $n$
  • Schließlich wird noch für ungerades $n$ das Polynom $Q_n\left(X\right)$ durch den Ansatz
    $$Q_n\left(X\right)={\left(-1\right)}^{\frac{n-1}{2}}P_n\left(X\right)$$
    definiert. Dann ist wiederum für ungerades $n$
    $$Q_n\left(\sin x\right)=\sin\left(nx\right)$$ und der Führungskoeffizient von $Q_n$ errechnet sich als $2^{n-1}\centerdot  \left( -1 \right)^{\frac{n-1}{2}}=\left(-4\right)^{\frac{n-1}{2}}$.
    $\sin\left(nx\right)$ hat die Nullstellen $\dfrac{2k}{n}\pi, k \in \mathbb{Z},$ und diese liegen im Intervall $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right]$ , falls bei ungeradem $n$, $k$ die Bedingung $-\dfrac{n-1}{2}\le k\le \dfrac{n-1}{2}$ erfüllt ist.  Damit sind die Werte $\sin\left(\dfrac{2k}{n}\pi\right)$ die $n$ verschiedenen Nullstellen von $Q_n$. Daraus erhält man die folgenden Zerlegung  von $Q_n$ in Linearfakoren:
    $$Q_n(X)=\left(-4\right)^{\frac{n-1}{2}}\prod_{k=-\frac{n-1}{2}}^{\frac{n-1}{2}}{\left(X-\sin\left(\dfrac{2k}{n}\pi\right)\right)}$$. Fasst man hier noch jeweils zwei Faktoren zusammen, so ergibt sich
    $$Q_n(X)=\left(-4\right)^{\frac{n-1}{2}}X\prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}{\left(X^2-\sin^2 \left(\dfrac{2k}{n}\pi\right)\right)}=4^{\frac{n-1}{2} }X\prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}{\left(\sin^2 \left(\dfrac{2\pi k}{n}\right)-X^2\right)}$$.
    Für eine ungerade natürliche Zahl  folgt also insbesondere:
    $$\sin\left(nx\right)=2^{n-1}\sin x\prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}{\left(\sin^2\left(\dfrac{2\pi k}{n}\right)-\sin^2(x)\right)}$$
  • Jetzt rechnet man für ungerade Primzahlen $p,q$  mit den Abkürzungen $\alpha_i=\dfrac{2\pi}{p}\centerdot i, 1\le i\le \frac{p-1}{2}$ und
    $\beta_j=\dfrac{2\pi}{q}\centerdot j, 1\le j\le \frac{q-1}{2}$
    nach (sgn bezeichnet die Signum – Funktion):
    $$\left( \frac{q}{p} \right)=sgn\left( \prod\limits_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}{\sin \left( {{\alpha }_{i}}q \right)} \right)=\text{ } sgn\left( \prod\limits_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}{{{2}^{q-1}}}\sin ({{\alpha }_{i}})\prod\limits_{j=1}^{\frac{q-1}{2}}{\left( {{\sin }^{2}}({{\beta }_{j}})-si{{n}^{2}}({{\alpha }_{i}}) \right)} \right)=$$
    $$ sgn\left(\prod\limits_{j=1,i=1}^{\frac{p-1}{2},\frac{q-1}{2}}{\left( {{\sin }^{2}}({{\beta }_{j}})-si{{n}^{2}}({{\alpha }_{i}}) \right)} \right)$$
    Vertauscht man hier $p,q$ so ergibt sich
    $$\left( \frac{p}{q} \right)=
    sgn\left( \prod\limits_{i=1,j=1}^{\frac{q-1}{2},\frac{p-1}{2}}{\left( {{\sin }^{2}}({{\alpha }_{i}})-si{{n}^{2}}({{\beta }_{j}}) \right)} \right)$$
    Hieraus folgt aber unmittelbar das quadratische Reprozitätsgesetz:
    $$\left(\dfrac{p}{q}\right)={\left(-1\right)}^{\frac{p-1}{2}}{\left(-1\right)}^{\frac{q-1}{2}}\left(\dfrac{q}{p}\right)$$

Alexander Grothendieck ist tot

 

220px-Alexander_GrothendieckArbeitsgebiete

 

 

 

 

 

 

1928: Alexander Grothendieck wird am 28.3.1928 in Berlin geboren. Seine Eltern sind Hanka Grothendieck (21.8.1900 – 16.12.1957) und Alexander Schapiro (6.8.1890 – 1942).

1928-33: Hanka Grothendieck mit ihren beiden Kindern Frode (genannt Maidi) und Alexander (genannt Schurik) und Alexander Schapiro leben zusammen in Berlin. Schapiro ist Straßenfotograf, Hanka zeitweise Journalistin.

1933: Gegen Mitte des Jahres verlässt Schapiro Berlin und siedelt nach Paris über.

1934: Zu Beginn des Jahres folgt Hanka Grothendieck ihrem Lebensgefährten nach Paris und bringt Schurik bei der Hamburger Familie Heydorn unter.

1934-39: Schurik lebt in Hamburg-Blankenese, wird dort eingeschult und besucht später das Gymnasium in Blankenese. Schapiro und Hanka Grothendieck nehmen am Spanischen Bürgerkrieg teil, und leben an verschiedenen Orten in Frankreich.

1939: Auf Betreiben von Dagmar Heydorn wird etwa April/Mai Schurik nach Frankreich gebracht. Er wird zunächst von seinem Vater in Empfang genommen, lebt aber ab Sommer bei seiner Mutter in Nîmes.

1940-1942: Alexander lebt mit seiner Mutter in dem Internierungslager Rieucros bei Mende; er besucht das Gymnasium. Schapiro wird in das Lager Le Vernet gebracht und kommt 1942 in Auschwitz ums Leben.

1942-1944: Das Lager Rieucros wird aufgelöst, Hanka wird nach Gurs gebracht. Alexander findet Zuflucht in Le Chambon sur Lignon und besucht dort das Collège Cevenol, wo er seine Schulzeit mit dem Baccalaureat abschließt.

1945-1948: Grothendieck studiert Mathematik in Montpellier. 1948/49: Grothendieck verbring ein Jahr als Gasthörer in Paris und besucht das Séminaire H. Cartan.

1949-1953: Grothendieck studiert in Nancy bei Dieudonné und Laurent Schwartz. 1953 wird er in Nancy bei Schwartz promoviert.
(Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires, Memoirs of the American Mathematical Society, Band 16, 1955, S. 1–140)

1953/1954: Grothendieck ist in Sao Paulo in Brasilien und hält dort Vorlesungen über topologische Vektorräume.

1955: Das erste Halbjahr verbringt Grothendieck an der University of Kansas in Lawrence, Kanada. Im August ist er in Chicago.

1959-1970: Grothendieck ist Professor am Institut des Hautes Études Scientifiques in Bures-sur-Yvette. In seinen Arbeiten stellt er die Algebraische Geometrie auf eine neue Grundlage. EGA (Éléments de Géométrie Algébrique) und SGA (Séminaire de Géométrie Algébrique )entstehen.

1966: Grothendieck erhält auf dem Internationalen Mathematiker-Kongress in Moskau die Fields-Medaille. Aus politischen Gründen reist er nicht nach Moskau.

1970: In diesem Jahr zieht sich Grothendieck nach eigenem Bekunden aus der Mathematik zurück. Er entwickelt ökologische, philosophische und religiöse Interessen. Er gründet die Gruppe Survivre und wendet sich dem Buddhismus zu.

1970-73: Grothendieck ist erst Gastprofessor am Collège de France in Paris, dann an der Universität in Orsay.

1973: Grothendieck nimmt eine Professur an der Universität Montpellier an.

1973-84: Er hält mit einigen Unterbrechungen regelmäßig Vorlesungen in Montpellier. Bis etwa 1980 lebt er in Villecun bei Lodeve, danach in der Nähe von Mormoiron bei Carpentras.

1984-88: Er übernimmt eine Stelle als „directeur de recherches“ am CNRS. In den Jahren 1983 bis 1985 schreibt er Recoltes et Semailles.

1980-90: Grothendieck schreibt umfangreiche „Meditationen“ über mathematische und nicht-mathematische Themen, u.a. A la poursuite des champs, La longue marche à travers la théorie de Galois, Esquisse d´un programme, Recoltes et Semailles, La clef des songes, Les derivateurs. Er bricht zunehmend alle Kontakte zu früheren Kollegen, Mitarbeitern und Schülern ab.

1988: Grothendieck wird mit dem Crafoord Preis ausgezeichnet, den er jedoch ablehnt. Er scheidet am 1.10. offiziell aus dem Universtäts-Dienst aus.

1991: Im August siedelt Grothendieck nach ********** über und lebt dort völlig zurückgezogen. Er beschäftigt sich mit religiösen und philosophischen Meditationen und wünscht keinerlei Kontakte zu anderen Menschen.

2010: Grothendieck untersagt die weitere Verwendung seiner Veröffentlichungen:

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2014: Gestorben am 13. November in in Saint-Lizier in der Nähe von Saint-Girons, (Département Ariège)

2014:28.11 Grothendieckcircle.org schreibt
With the agreement of Grothendieck’s family, the work of the Circle to bring Grothendieck’s unique story and writings to the public has resumed.

Es sei  $n \in \mathbb{N}$ eine gegebene natürliche Zahl und
$\left(a_{i,j}\right)$ eine feste $n \times n $  Matrix mit $\left|\sum_{i,j}^n{a_{i,j}x_iy_j}\right|\le 1$  für alle Folgen $(x_i),(y_j)$ (komplexer oder reeller) Zahlen.
Dann gibt es eine Konstante K, die nur von $n$, aber nicht von der Matrix $\left(a_{i,j}\right)$, sodass für alle Folgen $(u_i),(v_j)$ von Vektoren  eines Hilbertraums $H$, die höchstens
den Betrag 1 besitzen, gilt
$$\left|\sum_{i,j}^n{a_{i,j}u_i\cdot v_j}\right|\le 1$$
$K=K(n)$ heißt die Grothendieck – Konstante. Verschiedene Abschätzungen von $K(n)$ sind: $K(2)=\sqrt{2}, K(3)< 1.517, K(4)\le \frac{\pi}{2}$
Lebe wohl, großer Meister